משפט פיתגורס. היסטוריה ומהות הגילוי המדעי

גילויים מדעיים חשובים ביותר
ספרייה חינם / מדריך / התגליות המדעיות החשובות ביותר

משפט פיתגורס. היסטוריה ומהות הגילוי המדעי

התגליות המדעיות החשובות ביותר

קשה למצוא אדם עם שם פיתגורס לא יהיה קשור למשפט פיתגורס. גם מי שרחוק בחייו ממתמטיקה ממשיך לזכור את "מכנסי פיתגורס" - ריבוע על היריעה, השווה בגודלו לשני ריבועים על הרגליים. הסיבה לפופולריות כזו של משפט פיתגורס ברורה: זוהי פשטות - יופי - משמעות. אכן, משפט פיתגורס הוא פשוט, אך לא מובן מאליו. הסתירה בין שני העקרונות מעניקה לו כוח משיכה מיוחד, הופכת אותו ליפה. אבל, בנוסף, למשפט פיתגורס יש חשיבות רבה. הוא משמש בגיאומטריה ממש בכל שלב. ישנן כחמש מאות הוכחות שונות למשפט זה, המצביע על מספר עצום של יישומיו הספציפיים.

מחקרים היסטוריים מתארכים את הולדתו של פיתגורס בסביבות 580 לפני הספירה. האב המאושר מנסרכוס מקיף את הילד בדאגות. הייתה לו הזדמנות להעניק לבנו חינוך וחינוך טובים.

המתמטיקאי והפילוסוף הגדול לעתיד כבר בילדות הראה יכולות גדולות למדעים. מהמורה הראשון שלו, הרמודמס, פיתגורס מקבל ידע ביסודות המוזיקה והציור. לצורך תרגילי זיכרון אילץ אותו הרמודמס ללמוד שירים מהאודיסאה והאיליאדה. המורה הראשון החדיר לפיתגורס הצעיר אהבה לטבע ולמסתורין שלו.

חלפו מספר שנים, ובעצת מורו מחליט פיתגורס להמשיך את לימודיו במצרים. בעזרת מורה מצליח פיתגורס לעזוב את האי סאמוס. אבל בעוד מצרים רחוקה. הוא גר באי לסבוס עם קרוב משפחתו זוילוס. שם פוגש פיתגורס את הפילוסוף פרקיד, חברו של תאלס ממילטוס. פיתגורס למד אסטרולוגיה, חיזוי ליקוי חמה, סודות המספרים, רפואה ומדעים אחרים שחוייבו לאותה תקופה מפרקידס.

אחר כך, במילטוס, הוא מאזין להרצאותיהם של תאלס ושל עמיתו הצעיר ותלמידו אנקסימנדר, גיאוגרף ואסטרונום בולט. פיתגורס רכש ידע רב במהלך שהותו בבית הספר המילזיאני.

לפני מצרים, הוא עוצר לזמן מה בפניקיה, שם, לפי האגדה, הוא לומד עם הכוהנים הצידונים המפורסמים.

לימוד פיתגורס במצרים תורם לעובדה שהוא הפך לאחד האנשים המשכילים ביותר בתקופתו. כאן נופל פיתגורס בשבי הפרסי.

לפי אגדות עתיקות, בשבי בבבל נפגש פיתגורס עם קוסמים פרסיים, הצטרף לאסטרולוגיה ולמיסטיקה המזרחית והתוודע לתורתם של חכמי הכלדים. הכשדים הכירו לפיתגורס את הידע שצבר עמי המזרח במשך מאות שנים: אסטרונומיה ואסטרולוגיה, רפואה וחשבון.

פיתגורס בילה שתים עשרה שנים בשבי בבל עד ששוחרר על ידי המלך הפרסי דריוש היסטפס, ששמע על היווני המפורסם. פיתגורס כבר בן שישים, הוא מחליט לחזור למולדתו על מנת להכיר לאנשיו את הידע שנצבר.

מאז עזב פיתגורס את יוון, חלו שינויים גדולים. מיטב המוחות, שנמלטו מהעול הפרסי, עברו לדרום איטליה, שנקראה אז יוון הגדולה, וייסדו שם את ערי המושבה סירקיוז, אגריג'נט, קרוטון. כאן פיתגורס מתכנן ליצור אסכולה פילוסופית משלו.

די מהר הוא צובר פופולריות רבה בקרב התושבים. פיתגורס משתמש במיומנות בידע שנצבר בשיטוט ברחבי העולם. עם הזמן, המדען מפסיק לדבר במקדשים וברחובות. כבר בביתו לימד פיתגורס רפואה, עקרונות הפעילות הפוליטית, אסטרונומיה, מתמטיקה, מוזיקה, אתיקה ועוד ועוד. פוליטיקאים ומדינאים מצטיינים, היסטוריונים, מתמטיקאים ואסטרונומים יצאו מבית ספרו. זה לא היה רק מורה, אלא גם חוקר. גם תלמידיו הפכו לחוקרים. פיתגורס פיתח את תורת המוזיקה והאקוסטיקה, יצר את "הסולם הפיתגורי" המפורסם וערך ניסויים יסודיים בחקר צלילים מוזיקליים: הוא ביטא את היחסים שנמצאו בשפת המתמטיקה. בבית הספר של פיתגורס, לראשונה, הועלתה השערה לגבי כדוריות כדור הארץ. הרעיון שתנועתם של גרמי השמיים כפופה ליחסים מתמטיים מסוימים, הרעיונות של "הרמוניה של העולם" ו"מוזיקת הספירות", שהובילו לאחר מכן למהפכה באסטרונומיה, הופיע לראשונה דווקא בבית הספר של פיתגורס.

המדען עשה הרבה גם בגיאומטריה. פרוקלוס העריך את תרומתו של המדען היווני לגיאומטריה באופן הבא: "פיתגורס שינה את הגיאומטריה, נתן לה צורה של מדע חופשי, בוחן את עקרונותיו בצורה מופשטת גרידא ובוחן משפטים מנקודת מבט אינטלקטואלית ואינטלקטואלית. זה היה הוא שמצא את תורת הכמויות האי-רציונליות ובנייתם של גופים קוסמיים".

בבית הספר של פיתגורס, הגיאומטריה לראשונה מתעצבת כדיסציפלינה מדעית עצמאית. פיתגורס ותלמידיו היו הראשונים שלמדו גיאומטריה באופן שיטתי – בתור תורה תיאורטית של תכונותיהן של דמויות גיאומטריות מופשטות, ולא כאוסף מתכונים יישומיים למדידת קרקע.

הכשרון המדעי החשוב ביותר של פיתגורס הוא הכנסת הוכחה שיטתית למתמטיקה, ומעל לכל, לגיאומטריה. למען האמת, רק מרגע זה מתחילה המתמטיקה להתקיים כמדע, ולא כאוסף של מתכונים מעשיים מצריים עתיקים ובבליים עתיקים. עם הולדת המתמטיקה נולד גם המדע בכלל, שכן "לא ניתן לכנות מחקר אנושי מדע אמיתי אם לא עבר הוכחות מתמטיות" (לאונרדו דה וינצ'י).

אז, הכשרון של פיתגורס היה שהוא, ככל הנראה, היה הראשון שהגיע לרעיון הבא: בגיאומטריה, ראשית, יש להתייחס לאובייקטים אידיאליים מופשטים, ושנית, אין לקבוע את המאפיינים של אובייקטים אידיאליים אלה משימוש מדידות על מספר סופי של עצמים, אך תוך שימוש בהיגיון שתקף למספר אינסופי של עצמים. שרשרת ההיגיון הזו, שבעזרת חוקי ההיגיון מצמצמת אמירות לא ברורות לאמיתות ידועות או ברורות, היא הוכחה מתמטית.

גילוי המשפט על ידי פיתגורס מוקף בהילה של אגדות יפות. פרוקלוס, הערה על המשפט האחרון של ספר 1 של "התחלות" אוקלידס, כותב: "אם תקשיבו לאלה שאוהבים לחזור על אגדות עתיקות, תצטרכו לומר שהמשפט הזה חוזר לפיתגורס; הם אומרים שלכבוד הגילוי הזה הוא הקריב שור". עם זאת, מספרי סיפורים נדיבים יותר הפכו שור אחד להקטומב אחד, וזה כבר מאה שלמים. ולמרות שגם קיקרו ציין שכל שפיכת דם זרה לאמנת המסדר הפיתגורי, אגדה זו התמזגה בחוזקה עם משפט פיתגורס והמשיכה לעורר תגובות חמות כעבור אלפיים שנה.

מיכאיל לומונוסוב בהזדמנות זו, הוא כתב: "פיתגורס הקריב מאה שוורים לזאוס בשביל המצאת כלל גיאומטרי אחד. אבל אם החוקים שנמצאו בתקופה המודרנית ממתמטיקאים שנונים יפעלו על פי קנאתו האמונות התפלות, אז זה בקושי יהיה אפשרי למצוא כל כך הרבה בקר בכל העולם."

A.V. וולושינוב בספרו על פיתגורס מציין: "ואף על פי שכיום משפט פיתגורס נמצא בבעיות וציורים מיוחדים שונים: במשולש המצרי בפפירוס של זמנו של פרעה אמנמחת הראשון (בערך 2000 לפנה"ס), ובלוחות הבבליות בכתב היתדות של המאה ה-XV בסינית סו-ו-VIII במאה ה-XNUMX-VXNUMX של המלך חמת-חואובי העתיק. an jing ь" ("מסכת מתמטית על הגנומון"), שעת יצירתו אינה ידועה בדיוק, אך היא קובעת כי במאה ה-XNUMX לפנה"ס ידעו הסינים את תכונות המשולש המצרי, ועד המאה ה-XNUMX לפנה"ס - הצורה הכללית של המשפט, ובמסכת הגיאומטרית והתיאולוגית ההודית העתיקה של ה-XNUMX לפנה"ס (Sutra-XNUMX לפנה"ס). , - למרות כל זה, שמו של פיתגורס מתמזג כל כך היטב עם משפט פיתגורס, עד שעכשיו זה פשוט בלתי אפשרי לדמיין שהביטוי הזה יתפרק. כנ"ל לגבי האגדה על שחיטת השוורים על ידי פיתגורס. וכמעט שאין צורך לנתח אגדות עתיקות יפהפיות עם אגדה היסטורית-מתמטית.

כיום מקובל כי פיתגורס נתן את ההוכחה הראשונה למשפט הנושא את שמו. למרבה הצער, אף זכר לראיה זו לא שרד. לכן, אין לנו ברירה אלא לשקול כמה מההוכחות הקלאסיות של משפט פיתגורס, המוכרות מחיבורים עתיקים. זה גם שימושי לעשות זאת מכיוון שספרי בית ספר מודרניים מספקים הוכחה אלגברית למשפט. יחד עם זאת, ההילה הגיאומטרית הקמאית של המשפט נעלמת ללא עקבות, אותו חוט של אריאדנה שהוביל את החכמים הקדמונים אל האמת אובד, והדרך הזו כמעט תמיד התבררה כקצרה ותמיד יפה.

משפט פיתגורס קובע: "הריבוע הבנוי על תחתית משולש ישר זווית שווה לסכום הריבועים הבנויים על רגליו". ההוכחה הפשוטה ביותר למשפט מתקבלת במקרה הפשוט ביותר של משולש ישר זווית שווה שוקיים. כנראה, המשפט התחיל איתו. ואכן, די רק להסתכל על הריצוף של משולשים ישרים שוקיים כדי לראות שהמשפט נכון.

במאה ה-4 לפני הספירה הומצא הנייר בסין ובמקביל החלה יצירתם של ספרים עתיקים. כך הופיע "מתמטיקה בתשעה ספרים" - החשובה מבין היצירות המתמטיות והאסטרונומיות ששרדו. בספר התשיעי של "מתמטיקה" יש ציור המוכיח את משפט פיתגורס. לא קשה למצוא את המפתח להוכחה זו. ואכן, בציור הסיני העתיק יש ארבעה משולשים ישרי זווית שווים עם רגליים ותחתית. C מוערמים כך שהמתאר החיצוני שלהם יוצר ריבוע עם צלע A + B, והפנימי - ריבוע עם צלע C, הבנוי על התחתון. אם נחתך ריבוע עם הצלע c ושאר XNUMX המשולשים המוצללים ממוקמים בשני מלבנים, אז ברור שהריק שנוצר, מצד אחד, שווה ל-C בריבוע, ומצד שני, A + B, כלומר C \uXNUMXd A + B. המשפט הוכח.

המתמטיקאים של הודו העתיקה שמו לב שכדי להוכיח את משפט פיתגורס, די להשתמש בחלק הפנימי של הציור הסיני העתיק. במסכת סיד-דהנטה שירומאני (כתר הידע), שנכתב על עלי דקל, על ידי גדול המתמטיקאים ההודיים במאה ה-XNUMX, מוצב בבהסקרה ציור עם המילה "תראה!", האופיינית להוכחות הודיות. כאן מונחים משולשים ישרי זווית עם התחתון כלפי חוץ וריבוע C מוזז לריבוע "כיסא הכלה" A ועוד ריבוע B. מקרים מיוחדים של משפט פיתגורס נמצאים בחיבור ההודי העתיק "סולבה סוטרה" (מאות XNUMX-XNUMX לִפנֵי הַסְפִירָה).

ההוכחה של אוקלידס ניתנת במשפט 1 של הספר "התחלות". כאן, להוכחה, הריבועים התואמים בנויים על התחתון והרגליים של משולש ישר זווית.

"המתמטיקאי והאסטרונום של בגדאד בן המאה ה-5, אן-נייריסיוס (השם הלטיני הוא אנאריקיוס)," כותב וולושינוב, "בפירוש הערבי על היסודות של אוקלידס, נתן את ההוכחה הבאה למשפט פיתגורס. אנאריקיוס חילק את הריבוע שעל גובה הרגליים, שכל החלקים התואמים, כמובן, הינם הריבועים של התחתון לחמישה חלקים. חלקים דורשים הוכחה, אך אנו משאירים זאת לקורא לבירור. זה מוזר שההוכחה לאנריציוס היא הפשוטה ביותר מבין המספר העצום של ההוכחות של משפט פיתגורס בשיטת החלוקה: היא מכילה רק 7 חלקים (או XNUMX משולשים). זהו המספר הקטן ביותר של מחיצות אפשריות."

מחבר: סאמין ד.ק.

אנו ממליצים על מאמרים מעניינים סעיף התגליות המדעיות החשובות ביותר:

▪ בנזן

▪ משפט יסוד של אלגברה

▪ כרונולוגיה חדשה

ראה מאמרים אחרים סעיף התגליות המדעיות החשובות ביותר.

תקרא ותכתוב שימושי הערות על מאמר זה.

<< חזרה

חדשות אחרונות של מדע וטכנולוגיה, אלקטרוניקה חדשה:

קיומו של כלל אנטרופיה להסתבכות קוונטית הוכח 09.05.2024

מכניקת הקוונטים ממשיכה להדהים אותנו עם התופעות המסתוריות והתגליות הבלתי צפויות שלה. לאחרונה הציגו ברטוס רגולה ממרכז RIKEN למחשוב קוונטי ולודוביקו לאמי מאוניברסיטת אמסטרדם תגלית חדשה הנוגעת להסתבכות קוונטית והקשר שלה לאנטרופיה. להסתבכות קוונטית יש תפקיד חשוב במדע ובטכנולוגיה של מידע קוונטי מודרני. עם זאת, מורכבות המבנה שלו הופכת את ההבנה והניהול שלו למאתגרים. התגלית של רגולוס ולמי מראה שההסתבכות הקוונטית פועלת לפי כלל אנטרופיה דומה לזה של מערכות קלאסיות. תגלית זו פותחת נקודות מבט חדשות בתחום מדע וטכנולוגיה של מידע קוונטי, ומעמיקה את הבנתנו את ההסתבכות הקוונטית והקשר שלה לתרמודינמיקה. תוצאות המחקר מצביעות על אפשרות הפיכה של טרנספורמציות של הסתבכות, מה שיכול לפשט מאוד את השימוש בהן בטכנולוגיות קוונטיות שונות. פתיחת כלל חדש ... >>

מזגן מיני Sony Reon Pocket 5 09.05.2024

הקיץ הוא זמן להירגעות ולנסיעות, אבל לעתים קרובות החום יכול להפוך את הזמן הזה לייסורים בלתי נסבלים. הכירו מוצר חדש מבית סוני - מזגן המיני Reon Pocket 5, המבטיח להפוך את הקיץ לנוח יותר עבור המשתמשים בו. סוני הציגה מכשיר ייחודי - המיני-מרכך Reon Pocket 5, המספק קירור הגוף בימים חמים. בעזרתו, המשתמשים יכולים ליהנות מקרירות בכל זמן ובכל מקום פשוט על ידי לענוד אותו על צווארם. מזגן מיני זה מצויד בהתאמה אוטומטית של מצבי פעולה, כמו גם בחיישני טמפרטורה ולחות. הודות לטכנולוגיות חדשניות, Reon Pocket 5 מתאים את פעולתו בהתאם לפעילות המשתמש ולתנאי הסביבה. משתמשים יכולים להתאים בקלות את הטמפרטורה באמצעות אפליקציה ייעודית לנייד המחוברת באמצעות Bluetooth. בנוסף, זמינים לנוחות חולצות טי ומכנסיים קצרים בעיצוב מיוחד, אליהם ניתן לחבר מזגן מיני. המכשיר יכול הו ... >>

אנרגיה מהחלל עבור ספינת הכוכבים 08.05.2024

ייצור אנרגיה סולארית בחלל הופך לאפשרי יותר עם כניסתן של טכנולוגיות חדשות ופיתוח תוכניות חלל. ראש הסטארט-אפ Virtus Solis שיתף את החזון שלו להשתמש בספינת הכוכבים של SpaceX כדי ליצור תחנות כוח מסלוליות המסוגלות להניע את כדור הארץ. הסטארט-אפ Virtus Solis חשף פרויקט שאפתני ליצירת תחנות כוח מסלוליות באמצעות ספינת הכוכבים של SpaceX. רעיון זה עשוי לשנות באופן משמעותי את תחום הפקת האנרגיה הסולארית, ולהפוך אותו לנגיש וזול יותר. ליבת התוכנית של הסטארט-אפ היא להפחית את עלות שיגור לוויינים לחלל באמצעות Starship. פריצת דרך טכנולוגית זו צפויה להפוך את ייצור אנרגיה סולארית בחלל לתחרותי יותר עם מקורות אנרגיה מסורתיים. Virtual Solis מתכננת לבנות פאנלים פוטו-וולטאיים גדולים במסלול, באמצעות Starship כדי לספק את הציוד הדרוש. עם זאת, אחד האתגרים המרכזיים ... >>

חדשות אקראיות מהארכיון

KnuPath - מעבד צבאי נוירומורפי 10.06.2016

KnuEdge הכריזה על שבב בשם KnuPath, מעבד נוירומורפי מותאם אישית המיועד לזיהוי דיבור ויישומי למידת מכונה אחרים. השבב כבר מיוצר ואף בשימוש על ידי לקוחות החברה. הוכרזו גם חבילת התוכנה לזיהוי דיבור KnuVerse וממשקי ה-API של הענן הנלווים לה, אך כפי שהתברר, היא מסופקת לצבא כבר חמש שנים.

עם שם הקוד Hermosa, KnuPath משתמש בטכנולוגיית מחברים של LambdaFabric וניתן להשתמש בו במרכזי נתונים גדולים, למשל, מכיוון שהמעבד ניתן להרחבה מאוד. האפיק של LambdaFabric מאפשר לך לשלב עד 512 אלף מעבדים למערכת אחת ויש לו זמן אחזור של rack-to-rack של כ-400 ננו-שניות. לכל שבב יש 72MB של זיכרון מובנה במהירות גבוהה, 256 ליבות DSP, 64 מנועי DMA ניתנים לתכנות, ונתב L32 מובנה עם 1 יציאות עם תפוקה של 1TB/s. הביצועים של כל שבב בפעולות נקודה צפה נאמדים ב-256 Gflops/s. רוחב הפס של תת-מערכת ה-RAM הוא 3,702 GB/s.

ל-KnuPath יש גם 16 ערוצי קלט/פלט דו-כיווני המספקים תפוקה של 320 Gb/s למעבד. צורכת הרמוסה 34 וואט שהם כ-100 וואט במונחי טרה-פלופ. במבחני מפתח כגון FFT, Sparse Matrix-Vector Multiply ו-k-menas Clustering, שבב KnuEdge החדש עולה על המאיצים הגרפיים הטובים ביותר פי 2,7-8,1. מדובר בפער משמעותי מאוד, במיוחד לאור צריכת החשמל הנמוכה יחסית.

המעבד הזה מבטיח להפוך את טכנולוגיות זיהוי הדיבור למתקדמות עוד יותר, במיוחד מכיוון שהן הפכו להרבה יותר מבוקשות במהלך השנים האחרונות.

עוד חדשות מעניינות:

▪ דשני פוספט יחזיקו מעמד רק 10 שנים

▪ מצלמה Pentax Q

▪ לדים אורגניים למכשירים רפואיים

▪ הגרפן יהפוך לגמיש וגמיש עוד יותר

▪ שעון חכם קניון ווסאבי

עדכון חדשות של מדע וטכנולוגיה, אלקטרוניקה חדשה

חומרים מעניינים של הספרייה הטכנית החופשית:

▪ קטע אתר מייצבי מתח. בחירת מאמרים

▪ מאמר לזיין מישהו. ביטוי עממי

▪ מאמר איך הפינגווינים הקיסריים משתפים פעולה כדי להתחמם? תשובה מפורטת

▪ מאמר כתום מתוק. אגדות, טיפוח, שיטות יישום