משפט יסוד של אלגברה. היסטוריה ומהות הגילוי המדעי

גילויים מדעיים חשובים ביותר
ספרייה חינם / מדריך / התגליות המדעיות החשובות ביותר

משפט יסוד של אלגברה. היסטוריה ומהות הגילוי המדעי

התגליות המדעיות החשובות ביותר

"משפט היסוד של האלגברה בצורה של משפט: למשוואה אלגברית יש שורשים רבים כמו דרגתה, שנאמר על ידי ג'ירארד ו דקארט, - מציין בספרו "בעולם המשוואות" V.A. ניקיפורובסקי. - הניסוח שלו, המורכב מהעובדה שפולינום אלגברי עם מקדמים ממשיים מפורק למכפלה של גורמים ליניאריים וריבועיים ממשיים, שייך ל-d'Alembert ו אוילר. אוילר דיווח על כך לראשונה במכתב לניקולס הראשון ברנולי (1687–1759) מ-1 בספטמבר 1742. מכאן נובע שהשורשים של משוואות אלגבריות עם מקדמים ממשיים שייכים לתחום המספרים המרוכבים.

ההוכחה הראשונה למשפט בוצעה בשנת 1746 על ידי ד'אלמברט (1717–1783). אולם ההוכחה של ד'אלמבר למשפט היסודי של האלגברה הייתה אנליטית, לא אלגברית. המתמטיקאי הצרפתי השתמש במושגי האנליזה שעדיין לא התגבשו באותה תקופה, כמו סדרת הכוחות, האינפיניטסימלי. אין זה מפתיע שהוכחת המשפט סבלה מאי דיוקים ולאחר מכן ספגה ביקורת הרסנית. גאוסואז נשכח.

אוילר עשה צעד חדש ומשמעותי בהוכחת משפט היסוד של האלגברה.

לאונרד אוילר (1707–1783) נולד בבאזל. לאחר חינוך ביתי, לאונרד בן ה-XNUMX נשלח על ידי אביו לאוניברסיטת באזל ללמוד פילוסופיה.

בין יתר המקצועות נלמדו בפקולטה זו מתמטיקה יסודית ואסטרונומיה, שלימדו על ידי יוהאן ברנולי. עד מהרה הבחין ברנולי בכישרון של המאזין הצעיר והחל ללמוד איתו בנפרד.

לאחר קבלת תואר שני ב-1723, לאחר שנשא נאום בלטינית על הפילוסופיה של דקארט ו ניוטון, לאונרד, לבקשת אביו, החל ללמוד שפות מזרחיות ותיאולוגיה. אבל הוא נמשך יותר ויותר למתמטיקה. אוילר החל לבקר בבית המורה שלו, ונוצרה ידידות בינו לבין בניו של יוהאן ברנולי - ניקולאי ודניאל - שמילאה תפקיד חשוב מאוד בחייו של לאונרד.

בשנת 1725 הוזמנו האחים ברנולי להיות חברים באקדמיה למדעים של סנט פטרבורג. הם תרמו לכך שאולר עבר לרוסיה.

תגליותיו של אוילר, שבזכות התכתבויותיו התוססות נודעו לעתים קרובות הרבה לפני הפרסום, הופכות את שמו לרווחה יותר ויותר. מעמדו באקדמיה למדעים השתפר בשנת 1727, הוא החל לעבוד בדרגת נספח, כלומר אקדמאי זוטר, ובשנת 1731 הוא הפך לפרופסור לפיזיקה, כלומר לחבר מן המניין באקדמיה. בשנת 1733 הוא קיבל את הקתדרה למתמטיקה גבוהה יותר, אשר נכבשה בעבר על ידי ד' ברנולי, שחזר השנה לבאזל. צמיחת סמכותו של אוילר באה לידי ביטוי באופן ייחודי במכתבים אליו ממורו יוהאן ברנולי. ב-1728 פנה ברנולי ל"הצעיר המלומד והמחונן ביותר, לאונרד אוילר", ב-1737, "המתמטיקאי המפורסם והשנון ביותר", וב-1745, "ללאונרד אוילר שאין דומה לו, מנהיג המתמטיקאים".

בשנת 1736 הופיעו שני כרכים של המכניקה האנליטית שלו. הביקוש לספר הזה היה גדול. מאמרים רבים נכתבו על שאלות שונות של מכניקה, אבל עדיין לא הייתה מסכת טובה על מכניקה.

ב-1738 הופיעו שני חלקים של מבוא לאריתמטיקה בגרמנית, וב-1739, תיאוריה חדשה של מוזיקה.

בסוף שנת 1740 עבר השלטון ברוסיה לידי יורשת העצר אנה לאופולדובנה ופמלייתה. בבירה התפתח מצב מדאיג. בזמן זה, המלך הפרוסי פרידריך השני החליט להחיות את המייסד לייבניץ החברה למדעים בברלין, כמעט לא פעילה במשך שנים רבות. באמצעות השגריר שלו בפטרבורג הזמין המלך את אוילר לברלין. אוילר, שהאמין ש"המצב החל להיראות די לא בטוח", נענה להזמנה.

בברלין, אוילר אסף סביבו תחילה חברה מדעית קטנה, ולאחר מכן הוזמן לאקדמיה המלכותית למדעים ששוחזרה לאחרונה ומונה לדיקן המחלקה המתמטית. ב-1743 פרסם חמישה מזיכרונותיו, ארבעה מהם על מתמטיקה. אחת מהעבודות הללו יוצאת דופן משתי בחינות. זה מצביע על דרך לשילוב שברים רציונליים על ידי פירוקם לשברים חלקיים, ובנוסף, מתוארת הדרך הרגילה כעת לשילוב משוואות ליניאריות רגילות מסדר גבוה יותר עם מקדמים קבועים.

באופן כללי, רוב יצירותיו של אוילר מוקדשות לניתוח. אוילר כל כך פישט והשלים חלקים גדולים שלמים של ניתוח האינפיניטסימלים, אינטגרציה של פונקציות, תורת הסדרות, משוואות דיפרנציאליות, שהתחילו לפניו, עד שהם קיבלו בערך את הצורה שנשארה במידה רבה מאחוריהם עד היום. אוילר, בנוסף, התחיל פרק חדש לגמרי של ניתוח - חשבון הווריאציות. יוזמה זו שלו נקלטה במהרה על ידי לגרנז', ומדע חדש נוצר.

ההוכחה של אוילר למשפט היסודי של האלגברה פורסמה ב-1751 בעבודה "חקירות על שורשים דמיוניים של משוואות".

אוילר ביצע את ההוכחה האלגברית ביותר למשפט. מאוחר יותר, רעיונותיו העיקריים חזרו והעמיקו על ידי מתמטיקאים אחרים. לפיכך, שיטות לחקר משוואות פותחו לראשונה על ידי לגרנז', ולאחר מכן הפכו לחלק בלתי נפרד מתורת גלואה.

המשפט המרכזי היה שכל שורשי המשוואה שייכים לשדה המספרים המרוכבים. כדי להוכיח עמדה זו, אוילר קבע שניתן להרחיב כל פולינום בעל מקדמים ממשיים למכפלה של גורמים ליניאריים או ריבועיים אמיתיים.

ערכים של מספרים שאינם אמיתיים, "אולר נקרא דמיוני", כותב ניקיפורובסקי, "וציין כי הם נחשבים בדרך כלל לאלו שנותנים מספרים ממשיים בזוגות בסכום ובמכפלה. לכן, אם יש 2 מ' דמיוניים. שורשים, אז זה ייתן m ריבוע אמיתי של גורמים בייצוג הפולינומי שאולר כותב: "לכן, נאמר שלכל משוואה שלא ניתן לחלק אותה לגורמים ראשוניים אמיתיים יש תמיד גורמים ממשיים מהמעלה השנייה. אולם איש, עד כמה שידוע לי, עדיין לא הוכיח את אמיתותה של דעה זו בקפדנות דיה; לכן אנסה לתת לו הוכחה שתכסה את כל המקרים ללא יוצא מן הכלל".

את אותו רעיון החזיק לגרנז', לפלאס ועוד כמה מחסידי אוילר. גאוס לא הסכים איתה.

אוילר ניסח שלושה משפטים הנובעים מתכונות של פונקציות רציפות.

1. למשוואת מעלות אי זוגי יש לפחות שורש אמיתי אחד. אם יש יותר משורש אחד כזה, אז מספרם הוא אי זוגי.

2. למשוואה בדרגה זוגית יש מספר זוגי של שורשים ממשיים, או שאין לה אותם בכלל.

3. למשוואה בדרגה זוגית, שבה האיבר החופשי שלילי, יש לפחות שני שורשים ממשיים של סימנים שונים.

בעקבות זאת, אוילר הוכיח משפטים על הפירוק לגורמים ממשיים ליניאריים וריבועיים של פולינומים עם מקדמים ממשיים...

בעת הוכחת המשפט הראשי, אוילר קבע שתי תכונות של משוואות אלגבריות: 1) פונקציה רציונלית של שורשי המשוואה, שלוקחת ערכים שונים עבור כל התמורות האפשריות של השורשים A, עומדת במשוואה של מדרגה A, המקדמים מתוכם באים לידי ביטוי באופן רציונלי במונחים של המקדמים של המשוואה הנתונה; 2) אם הפונקציה הרציונלית של שורשי המשוואה היא בלתי משתנית (לא משתנה) ביחס לתמורות השורשים, אזי היא מתבטאת באופן רציונלי במונחים של המקדמים של המשוואה המקורית.

נ.ב. לאפלס בהרצאות על מתמטיקה ב-1795, בעקבות אוילר ולגרנז', מודה בפירוק לגורמים של פולינום. במקביל, לפלס מוכיח שהם יהיו אמיתיים.

לפיכך, גם אוילר וגם לגרנז' וגם לפלס בנו את ההוכחה למשפט היסודי של האלגברה בהנחה של קיומו של שדה פירוק לגורמים של פולינום.

תפקיד מיוחד בהוכחות המשפט הראשי שייך ל"מלך המתמטיקאים" גאוס.

קרל פרידריך גאוס נולד (1777–1855) בברונסוויק. הוא ירש בריאות טובה ממשפחת אביו, ואינטלקט מבריק ממשפחת אמו. בגיל שבע נכנס קרל פרידריך לבית הספר העממי של קתרין. בשנת 1788, גאוס נכנס לגימנסיה. עם זאת, זה לא מלמד מתמטיקה. כאן לומדים שפות קלאסיות. גאוס נהנה ללמוד שפות ומתקדם עד כדי כך שהוא אפילו לא יודע מה הוא רוצה להיות - מתמטיקאי או פילולוג.

גאוס מוכר בבית המשפט. בשנת 1791 הוצג בפני קרל וילהלם פרדיננד, דוכס ברונסוויק. הילד מבקר בארמון ומשעשע את אנשי החצר באמנות הספירה. הודות לחסותו של הדוכס, גאוס הצליח להיכנס לאוניברסיטת גטינגן באוקטובר 1795. בהתחלה הוא מאזין להרצאות על פילולוגיה וכמעט אף פעם לא מגיע להרצאות על מתמטיקה. אבל זה לא אומר שהוא לא עוסק במתמטיקה.

בשנת 1795, גאוס מאמץ עניין נלהב במספרים שלמים. בסתיו של אותה שנה עבר גאוס לגטינגן וממש בלע את הספרות שנפלה לידיו בפעם הראשונה: יצירותיהם של אוילר ולגרנז'.

"ב-30 במרץ 1796 מגיע יום הטבילה היצירתית עבורו. - כותב פ. קליין, - גאוס כבר עוסק זה זמן מה בקיבוץ שורשים מאחדות על בסיס התיאוריה שלו על שורשים "ראשוניים". ואז בוקר אחד, כשהתעורר, הבין לפתע בבירור וברור שבנייתו של שבע עשרה גוון נובעת מהתיאוריה שלו... אירוע זה היה נקודת מפנה בחייו של גאוס. הוא מחליט להתמסר לא לפילולוגיה, אלא באופן בלעדי למתמטיקה."

עבודתו של גאוס הפכה לדוגמא בלתי ניתנת להשגה של גילוי מתמטי במשך זמן רב. אחד מיוצרי הגיאומטריה הלא אוקלידית, יאנוס בולאי, כינה אותה "הגילוי המבריק ביותר של זמננו, או אפילו של כל הזמנים". אבל היה קשה להבין את הגילוי הזה! הודות למכתבים למולדתו של המתמטיקאי הנורווגי הדגול הבל, שהוכיח את חוסר הפתירות של משוואות מהדרגה החמישית ברדיקלים, אנו יודעים על הדרך הקשה שעבר בזמן שלמד את התיאוריה של גאוס. בשנת 1825 כותב הבל מגרמניה: "גם אם גאוס הוא הגאון הגדול ביותר, ברור שהוא לא שאף שכולם יבינו זאת בבת אחת..." עבודתו של גאוס מעוררת השראה בהבל לבנות תיאוריה שבה "יש כל כך הרבה משפטים נפלאים שפשוט אי אפשר להאמין בזה". אין ספק שגם גאוס השפיע על גלואה.

גאוס עצמו שמר על אהבה נוגעת ללב לגילוי הראשון שלו לכל החיים.

ב-30 במרץ 1796, היום שבו נבנה השבעה עשר העשרונים הרגילים, יומנו של גאוס מתחיל - כרוניקה של תגליותיו המדהימות. הרשומה הבאה ביומן הופיעה ב-8 באפריל. הוא דיווח על ההוכחה של משפט ההדדיות הריבועית, שאותו כינה משפט "הזהב". מקרים מיוחדים של הצהרה זו הוכחו Farm, אוילר, לגרנז'. אוילר ניסח השערה כללית, שההוכחה הבלתי שלמה לה ניתנה על ידי לג'נדר. ב-8 באפריל, גאוס מצא הוכחה מלאה להשערתו של אוילר. עם זאת, גאוס עדיין לא ידע על עבודתם של קודמיו הגדולים. הוא הלך את כל הדרך הקשה אל "משפט הזהב" בכוחות עצמו!

גאוס גילה שתי תגליות נהדרות תוך 10 ימים בלבד, חודש לפני שמלאו לו 19! אחד ההיבטים המפתיעים ביותר של "תופעת גאוס" הוא שבעבודותיו הראשונות הוא כמעט ולא הסתמך על הישגיהם של קודמיו, וגילה מחדש תוך זמן קצר את מה שנעשה בתורת המספרים במאה וחצי על ידי עבודות של גדולי המתמטיקאים.

ב-1801 יצאו "החקירות האריתמטיות" המפורסמות של גאוס. ספר ענק זה (יותר מ-500 עמודים בפורמט גדול) מכיל את התוצאות העיקריות של גאוס. ל"מחקרים אריתמטיים" הייתה השפעה עצומה על המשך הפיתוח של תורת המספרים והאלגברה. חוקי ההדדיות עדיין תופסים את אחד המקומות המרכזיים בתורת המספרים האלגברית.

בבראונשווייג לא הייתה לגאוס הזדמנות להכיר את הספרות הדרושה לעבודה על החקירות האריתמטיות. לכן, הוא נסע לעתים קרובות להלמשטאדט הסמוכה, שם הייתה ספרייה טובה. כאן, בשנת 1798, הכין גאוס עבודת גמר שהוקדשה להוכחת משפט היסוד של האלגברה.

גאוס השאיר אחריו ארבע הוכחות למשפט היסודי של האלגברה. הוא הקדיש את עבודת הדוקטורט שלו, שפורסמה ב-1799, להוכחה הראשונה, שכותרתה "הוכחה חדשה למשפט לפיו ניתן לפרק כל פונקציה אלגברית רציונלית שלמה של בלתי משתנה אחד לגורמים ממשיים מהמעלה הראשונה והשנייה".

גאוס לא נכשל במתן תשומת לב לפערים באולר, ובעיקר, הוא מתח ביקורת על עצם ניסוח השאלה, כאשר מראש הניחו את קיומם של שורשי המשוואות.

ההוכחה הראשונה של גאוס, כמו זו של ד'אלמברט, הייתה אנליטית. בהוכחה השנייה, שבוצעה על ידו ב-1815, חזר המתמטיקאי המפורסם שוב לביקורת על הוכחת משפט היסוד של האלגברה באמצעות היגיון, כאשר מניחים מראש את קיומם של שורשי המשוואה.

גאוס הסביר בפסקת המבוא את הצורך בהוכחה חדשה: "למרות שההוכחה לגורמים של פונקציה רציונלית שלמה, שנתתי בספר זיכרונות שפורסם לפני 16 שנים, לא מותירה שום דבר לרצוי מבחינת קפדנות ופשטות, היא יש לקוות שמתמטיקאים לא יחשבו שזה בלתי רצוי שאחזור שוב לשאלה החשובה ביותר הזו ואבנה הוכחה שנייה לא פחות קפדנית, החל מעקרונות שונים לחלוטין, על עקרונות אנליטיים גרידא. יש לציין שמה שגאוס מכנה השיטה האנליטית נקראת היום האלגברית.

לשם ההוכחה, גאוס השתמש בבניית שדה ההתפשטות של פולינום. יותר משישים שנה חלפו כאשר L Kronecker גם שיפר ופיתח את שיטת גאוס לבניית שדה ההתפשטות של כל פולינום. לאחר מכן, גאוס נתן שתי הוכחות נוספות למשפט היסודי של האלגברה. הרביעי והאחרון מתייחס לשנת 1848.

התוצאה העיקרית של ההוכחות למשפט היסודי של האלגברה מאת אוילר, לגראנז' וגאוס, I.G. בשמקוב, היה ש"הוכחות אלגבריות למשפט היסודי של האלגברה הן בעלות ערך בדיוק בגלל שעבור יישומן פותחו שיטות עמוקות חדשות של אלגברה עצמה ונבדקו הכוחות של שיטות וטכניקות שכבר נוצרו".

מחבר: סאמין ד.ק.

אנו ממליצים על מאמרים מעניינים סעיף התגליות המדעיות החשובות ביותר:

▪ קרינת רנטגן

▪ תורת היחסות המיוחדת

▪ יסודות האימונולוגיה

ראה מאמרים אחרים סעיף התגליות המדעיות החשובות ביותר.

תקרא ותכתוב שימושי הערות על מאמר זה.

<< חזרה

חדשות אחרונות של מדע וטכנולוגיה, אלקטרוניקה חדשה:

אנרגיה מהחלל עבור ספינת הכוכבים 08.05.2024

ייצור אנרגיה סולארית בחלל הופך לאפשרי יותר עם כניסתן של טכנולוגיות חדשות ופיתוח תוכניות חלל. ראש הסטארט-אפ Virtus Solis שיתף את החזון שלו להשתמש בספינת הכוכבים של SpaceX כדי ליצור תחנות כוח מסלוליות המסוגלות להניע את כדור הארץ. הסטארט-אפ Virtus Solis חשף פרויקט שאפתני ליצירת תחנות כוח מסלוליות באמצעות ספינת הכוכבים של SpaceX. רעיון זה עשוי לשנות באופן משמעותי את תחום הפקת האנרגיה הסולארית, ולהפוך אותו לנגיש וזול יותר. ליבת התוכנית של הסטארט-אפ היא להפחית את עלות שיגור לוויינים לחלל באמצעות Starship. פריצת דרך טכנולוגית זו צפויה להפוך את ייצור אנרגיה סולארית בחלל לתחרותי יותר עם מקורות אנרגיה מסורתיים. Virtual Solis מתכננת לבנות פאנלים פוטו-וולטאיים גדולים במסלול, באמצעות Starship כדי לספק את הציוד הדרוש. עם זאת, אחד האתגרים המרכזיים ... >>

שיטה חדשה ליצירת סוללות חזקות 08.05.2024

עם התפתחות הטכנולוגיה והשימוש המתרחב באלקטרוניקה, נושא יצירת מקורות אנרגיה יעילים ובטוחים הופך להיות דחוף יותר ויותר. חוקרים מאוניברסיטת קווינסלנד חשפו גישה חדשה ליצירת סוללות מבוססות אבץ בעלות הספק גבוה שיכולות לשנות את הנוף של תעשיית האנרגיה. אחת הבעיות העיקריות של סוללות נטענות מסורתיות על בסיס מים הייתה המתח הנמוך שלהן, שהגביל את השימוש בהן במכשירים מודרניים. אבל הודות לשיטה חדשה שפותחה על ידי מדענים, החיסרון הזה התגבר בהצלחה. כחלק מהמחקר שלהם פנו מדענים לתרכובת אורגנית מיוחדת - קטכול. התברר שזהו רכיב חשוב שיכול לשפר את יציבות הסוללה ולהגביר את יעילותה. גישה זו הובילה לעלייה משמעותית במתח של סוללות אבץ-יון, מה שהופך אותן לתחרותיות יותר. לדברי מדענים, לסוללות כאלה יש מספר יתרונות. יש להם ב ... >>

תכולת אלכוהול של בירה חמה 07.05.2024

לבירה, כאחד המשקאות האלכוהוליים הנפוצים ביותר, יש טעם ייחודי משלה, שיכול להשתנות בהתאם לטמפרטורת הצריכה. מחקר חדש של צוות מדענים בינלאומי מצא כי לטמפרטורת הבירה יש השפעה משמעותית על תפיסת הטעם האלכוהולי. המחקר, בראשות מדען החומרים ליי ג'יאנג, מצא כי בטמפרטורות שונות, מולקולות אתנול ומים יוצרות סוגים שונים של אשכולות, מה שמשפיע על תפיסת הטעם האלכוהולי. בטמפרטורות נמוכות נוצרים יותר אשכולות דמויי פירמידה, מה שמפחית את החריפות של טעם ה"אתנול" וגורם למשקה להיות פחות אלכוהולי. להיפך, ככל שהטמפרטורה עולה, האשכולות הופכים דמויי שרשרת יותר, וכתוצאה מכך טעם אלכוהולי בולט יותר. זה מסביר מדוע הטעם של כמה משקאות אלכוהוליים, כגון באייג'יו, יכול להשתנות בהתאם לטמפרטורה. הנתונים שהתקבלו פותחים סיכויים חדשים ליצרני משקאות, ... >>

חדשות אקראיות מהארכיון

משקפת עם מצלמה 15.09.2002

חברת "פנטקס" היפנית הוציאה משקפת עם מצלמה דיגיטלית מובנית.

למטריצת המצלמה יש 800 אלמנטים; רגישות האור משתנה אוטומטית בהתאם לתאורה ומגיעה עד 1600 יחידות. אגב, רגישות כה גבוהה מאפשרת, למשל, לצלם סצנות מתוך הצגה בתיאטרון מבלי להפריע לאף אחד בפלאשים.

המשקפת זום עד פי 5,5 (ניתן לשנות את עוצמת ההגדלה). מאחסן עד 100 תמונות בזיכרון, אשר לאחר מכן ניתן להציג על גבי מסך מחשב או טלוויזיה. יש מצב צילום במהירות גבוהה: עד 5 פריימים לשנייה למשך 10 שניות.

עוד חדשות מעניינות:

▪ יצר צמח בית שיותר יעיל מ-30 מטהרי אוויר

▪ פאנל סולארי גמיש לסירות

▪ השמנת יתר וסוכרת

▪ פיתח חומר שנדחס כאשר נמתח

▪ פלסטיק שמתפרק באדמה תוך שישה שבועות

עדכון חדשות של מדע וטכנולוגיה, אלקטרוניקה חדשה

חומרים מעניינים של הספרייה הטכנית החופשית:

▪ קטע אתר ואז הופיע ממציא (TRIZ). בחירת מאמרים

▪ מאמר מדינה מכונה. ביטוי עממי

▪ מאמר איזו עיר סובייטית הייתה בירת שתי רפובליקות בו זמנית? תשובה מפורטת

▪ מאמר Kalgan officinalis. אגדות, טיפוח, שיטות יישום

▪ מאמר לכות מים. מתכונים וטיפים פשוטים

▪ מאמר מטען לסוללות סטרים. אנציקלופדיה של רדיו אלקטרוניקה והנדסת חשמל

השאר את תגובתך למאמר זה:

כל השפות של דף זה

בית | הספרייה | מאמרים | <font><font>מפת אתר</font></font> | ביקורות על האתר