המשפט האחרון של פרמה. היסטוריה ומהות הגילוי המדעי

גילויים מדעיים חשובים ביותר
ספרייה חינם / מדריך / התגליות המדעיות החשובות ביותר

המשפט האחרון של פרמה. היסטוריה ומהות הגילוי המדעי

התגליות המדעיות החשובות ביותר

באחת ההספדים של פייר דה פרמה נאמר: "הוא היה אחד המוחות המדהימים ביותר במאה שלנו, גאון אוניברסלי וכל כך רב-תכליתי, שאם כל המדענים לא יספדו את יתרונותיו יוצאי הדופן, יהיה קשה להאמין לכל הדברים. שצריך להגיד עליו. להגיד כדי לא לפספס שום דבר בהספד שלנו".

למרבה הצער, לא הרבה ידוע על חייו של המדען הגדול. פייר פרמה (1601-1665) נולד בדרום צרפת בעיירה הקטנה בומונט-דה-לומניה, שם אביו, דומיניק פרמה, היה "הקונסול השני", כלומר עוזרו של ראש העיר.

דומיניק פרמה העניק לבנו חינוך מוצק מאוד. בקולג' של עיר הולדתו, פייר רכש ידע טוב בשפות: לטינית, יוונית, ספרדית, איטלקית. לאחר מכן כתב שירה בלטינית, צרפתית וספרדית.

פרמה היה מפורסם כידען משובח של העת העתיקה, התייעץ איתו בקטעים קשים במהדורות הקלאסיקה היוונית. עם זאת, פייר כיוון את כל כוחו של גאונותו למחקר מתמטי. אולם המתמטיקה לא הפכה למקצוע שלו. למדענים בני זמנו לא הייתה הזדמנות להתמסר לחלוטין למדע האהוב עליהם.

החווה בוחרת בפסיקה. תואר ראשון הוענק לו באולינס. מאז 1630 עבר פרמה לטולוז, שם קיבל תפקיד כיועץ בפרלמנט (כלומר, בית המשפט). על פעילותו המשפטית נאמר ב"שבח" כי ביצע אותה "במצפוניות רבה ובמיומנות כזו שהתפרסם כאחד מטובי עורכי הדין בזמנו".

במהלך חייו של פרמה, עבודתו המתמטית נודעה בעיקר דרך ההתכתבות הענפה שניהל עם מדענים אחרים. היצירות שנאספו, שניסה שוב ושוב לכתוב, מעולם לא נוצרו על ידו. כן, זה לא מפתיע בהתחשב בעבודה הקשה בבית המשפט שהיה צריך לבצע. אף אחד מכתביו לא פורסם במהלך חייו, אולם הוא העניק לכמה מסכתות מבט גמור לחלוטין, והן נודעו בכתבי יד לרוב חוקריו בני זמננו. בנוסף לחיבורים הללו, נותרה התכתבותו הענפה והמעניינת ביותר. במאה ה-XNUMX, כשלא היו כתבי עת מדעיים מיוחדים, התכתבות בין מדענים מילאה תפקיד מיוחד. הוא הציב משימות, דיווח על שיטות לפתרונן ודן בסוגיות מדעיות חריפות.

הכתבים של פרמה היו המדענים הגדולים ביותר בתקופתו: דקארט, אטיין פסקל ו בלייז פסקל, דה ביסי, הויגנס, טוריצ'לי, ואליס. מכתבים נשלחו ישירות לכתב, או לפריז, לאב מרסן (עמית סטודנט של דקארט בקולג'); האחרונים הכפילו אותם ושלחו אותם לאותם מתמטיקאים שעסקו בשאלות דומות.

אחת היצירות המתמטיות הראשונות של פרמה הייתה שחזורם של שני ספרים אבודים של אפולוניוס "על מקומות שטוחים".

השירות הגדול של פרמה למדע נראה בדרך כלל בהכנסתו של כמות אינסופית לגיאומטריה אנליטית, בדיוק כפי שזה נעשה קצת קודם לכן. קפלר לגבי הגיאומטריה של הקדמונים. הוא עשה את הצעד החשוב הזה בעבודותיו משנת 1629 על הכמויות הגדולות והקטנות ביותר, עבודות שפתחו את אחת מסדרות המחקרים החשובות ביותר של פרמה, שהן אחד החוליה הגדולים בהיסטוריה של התפתחות לא רק של אנליזה גבוהה יותר בכלל, אלא גם ניתוח של אינפיניטסימלים בפרט.

בסוף שנות העשרים גילה פרמה שיטות למציאת קיצוניות ומשיקים, שמבחינה מודרנית מסתכמים במציאת נגזרת.ב-1636 הועברה הצגת השיטה למרסן, וכל אחד יכול היה לקבל היכרות איתו.

לפני פרמה, המדען האיטלקי Cavalieri פיתח שיטות שיטתיות לחישוב שטחים. אבל כבר בשנת 1642, פרמה גילה שיטה לחישוב שטחים התחום על ידי כל "פרבולות" וכל "היפרבולות" הוא הראה שהשטח של דמות בלתי מוגבלת יכול להיות סופי.

פרמה היה מהראשונים שהתמודדו עם הבעיה של יישור עקומות, כלומר חישוב אורך הקשתות שלהן. הוא הצליח לצמצם בעיה זו לחישוב של אזורים מסוימים.

לפיכך, מושג ה"שטח" של פרמה קיבל אופי מאוד מופשט. בעיות של יישור עקומות הצטמצמו לקביעת שטחים, הוא צמצם חישוב שטחים מורכבים בעזרת החלפות לחישוב שטחים פשוטים יותר. נותר רק שלב לעבור מהאזור למושג המופשט עוד יותר של "אינטגרל".

לפרמה יש הישגים רבים אחרים. הוא הגיע לראשונה לרעיון הקואורדינטות ויצר גיאומטריה אנליטית. הוא גם עסק בבעיות של תורת ההסתברות. אבל פרמה לא היה מוגבל למתמטיקה בלבד, הוא גם למד פיזיקה, שם הוא הבעלים של גילוי חוק התפשטות האור במדיה.

למרות היעדר ראיות (שרק אחת מהם שרדה), קשה להפריז בחשיבות עבודתו של פרמה בתחום תורת המספרים. הוא לבדו הצליח לייחד מתוך הכאוס של בעיות ושאלות מסוימות שעולות מיד בפני החוקר בעת לימוד תכונותיהם של מספרים שלמים, את הבעיות העיקריות שהפכו מרכזיות בכל תורת המספרים הקלאסית. בבעלותו גם גילוי של שיטה כללית רבת עוצמה להוכחת טענות תיאורטיות המספרים - מה שנקרא שיטת ירידה בלתי מוגבלת או אינסופית, עליה נדון להלן. לכן, פרמה יכולה להיחשב בצדק כמייסדת תורת המספרים.

במכתב לדה-בסי מיום 18 באוקטובר 1640, אמר פרמה את ההצהרה הבאה: אם המספר а לא מתחלק במספר ראשוני р, אז יש אינדיקטור כזה кכי а - מחולק ב р, כאשר k הוא מחלק р-אחד. קביעה זו נקראת המשפט הקטן של פרמה. זה בסיסי בכל תורת המספרים היסודית. אוילר נתן למשפט הזה כמה הוכחות שונות.

בספר השני של אריתמטיקה שלו, דיופנטוס הציב את המשימה של ייצוג ריבוע נתון כסכום של שני ריבועים רציונליים. בשוליים, נגד משימה זו, כתב פרמה:

"להיפך, אי אפשר לפרק לא קובייה לשתי קוביות, ולא דו-מרובע לשתי ריבועים, ובאופן כללי לכל חזקה שגדולה מריבוע, לשתי חזקות עם אותו מעריך. גיליתי הוכחה נפלאה באמת לכך זה, אבל השדות האלה צרים מדי בשבילו." זהו המשפט הגדול המפורסם.

למשפט הזה היה גורל מדהים. במאה האחרונה, המחקר שלה הוביל לבניית התיאוריות העדינות והיפות ביותר הקשורות לאריתמטיקה של מספרים אלגבריים. ניתן לומר בלי להגזים שהיא מילאה תפקיד לא פחות בהתפתחות תורת המספרים מאשר בעיית פתרון משוואות ברדיקלים. ההבדל היחיד הוא שהאחרון כבר פתר על ידי גלואה, והמשפט הגדול עדיין מעודד מתמטיקאים לחקור.

מצד שני, פשטות הניסוח של המשפט הזה והמילים הנסתרות על "הוכחתו המופלאה" הביאו לפופולריות הנרחבת של המשפט בקרב לא-מתמטיקאים וליצירת תאגיד שלם של "פרמטיסטים" אשר, ב- דבריו של דבנפורט, "יש להם אומץ הרבה מעבר ליכולותיהם המתמטיות". לכן, המשפט הגדול נמצא במקום הראשון מבחינת מספר ההוכחות השגויות שניתנו לו.

פרמה עצמו השאיר הוכחה למשפט הגדול עבור החזקות הרביעיות. כאן הוא יישם שיטה חדשה. פרמה כותב כי "מכיוון שהשיטות הרגילות שנמצאו בספרים לא הספיקו להוכיח הצעות קשות כאלה, סוף סוף מצאתי דרך מאוד מיוחדת להשיג אותן. קראתי לשיטת ההוכחה הזו ירידה אינסופית או בלתי מוגבלת".

בשיטה זו הוכחו טענות רבות של תורת המספרים, ובמיוחד, בעזרתה, אוילר הוכיח את המשפט הגדול עבור n=4 (באופן שונה במקצת מהשיטה של פרמה), ו-20 שנה מאוחר יותר עבור n= 3.

פרמה תיאר שיטה זו במכתבו לקרקאווי (אוגוסט 1659) כך:

"אם היה איזה משולש ישר זווית במספרים שלמים, ששטחו שווה לריבוע, אז היה משולש אחר, קטן מזה, שיהיה בעל אותה תכונה. אם היה שני, קטן מהראשון , שיהיה לו אותו תכונה, אז יתקיים, מכוח נימוק זה, שליש פחות מהשני, שיהיה לו אותו תכונה, ולבסוף, רביעי, חמישי, יורד לאינסוף. אבל אם מספר נתון, אז אין אני מתכוון למספרים שלמים.) מכאן מסתכם שאין משולש ישר זווית עם שטח ריבועי.

פרמה ממשיך ואומר כי לאחר התלבטויות רבות, הוא הצליח ליישם את שיטתו על הוכחה של הצעות חיוביות אחרות. "אבל כדי ליישם את השיטה על הוכחה של הצעות אחרות", כותב I.G. Bashmakova, "למשל, כדי להוכיח שכל מספר יכול להיות מיוצג על ידי סכום של לא יותר מארבעה ריבועים, נדרש יישום של "עקרונות חדשים", עליו לא מתעכב פרמה ביתר פירוט פירוט כל המשפטים שפרמ"ט הוכיח בשיטת הירידה, כולל המשפט הגדול למקרה n = 3. בסוף המכתב מביע פרמה את התקווה ששיטה זו תצליח להיות שימושי למתמטיקאים הבאים ולהראות להם ש"הקדמונים לא ידעו הכל" "למרבה הצער, מכתב זה פורסם רק בשנת 1879. עם זאת, אוילר שיחזר את השיטה של פרמה מהערות נפרדות ויישם אותה בהצלחה בבעיות של ניתוח בלתי מוגבל. בפרט, הוא גם הבעלים של ההוכחה למשפט הגדול עבור n = 3. נזכיר שהניסיון הראשון להוכיח את חוסר הפירוק של קוביית מספר טבעי לסכום של שתי קוביות נעשה בסביבות שנת 1000 במזרח הערבי.

שיטת הירידה החלה שוב לשחק תפקיד מוביל במחקר על ניתוח דיופנטי על ידי A. Poincaré ו- A. Weyl. כיום, כדי ליישם שיטה זו, המושג גובה מוצג, כלומר, מספר טבעי כזה, שבאופן מסוים מתכתב עם כל פתרון רציונלי. יתרה מכך, אם ניתן להוכיח שלכל פתרון רציונלי של גובה A קיים פתרון אחר של גובה קטן מ-A, אזי הדבר ירמז על אי פתירת הבעיה במספרים רציונליים.

כל תורת המספרים האלגברית שלאחר מכן עד העבודות גאוס פותח, החל מהבעיות של פרמה. במאה ה-5500, מחקר הקשור למשפט האחרון של פרמה ולחוקי ההדדיות דרש הרחבה של תחום החשבון. קאמר, בזמן שעבד על המשפט האחרון של פרמה, בנה אריתמטיקה עבור מספרים שלמים אלגבריים מסוג מסוים. זה איפשר לו להוכיח את המשפט הגדול עבור מחלקה מסוימת של מעריכים ראשוניים n. נכון לעכשיו, תוקפו של המשפט הגדול אומתה עבור כל המעריכים n פחות מ-XNUMX.

נציין גם שהמשפט הגדול קשור לא רק לתורת המספרים האלגברית, אלא גם לגיאומטריה האלגברית, שמתפתחת כעת באופן אינטנסיבי.

אבל המשפט הגדול בצורה כללית עדיין לא הוכח. לכן, יש לנו את הזכות לצפות להופעתם של רעיונות ושיטות חדשות כאן.

מחבר: סאמין ד.ק.

אנו ממליצים על מאמרים מעניינים סעיף התגליות המדעיות החשובות ביותר:

▪ חוק המינימום

▪ עקרונות בסיסיים של גיאולוגיה

▪ תורת האבולוציה של העולם האורגני

ראה מאמרים אחרים סעיף התגליות המדעיות החשובות ביותר.

תקרא ותכתוב שימושי הערות על מאמר זה.

<< חזרה

חדשות אחרונות של מדע וטכנולוגיה, אלקטרוניקה חדשה:

קיומו של כלל אנטרופיה להסתבכות קוונטית הוכח 09.05.2024

מכניקת הקוונטים ממשיכה להדהים אותנו עם התופעות המסתוריות והתגליות הבלתי צפויות שלה. לאחרונה הציגו ברטוס רגולה ממרכז RIKEN למחשוב קוונטי ולודוביקו לאמי מאוניברסיטת אמסטרדם תגלית חדשה הנוגעת להסתבכות קוונטית והקשר שלה לאנטרופיה. להסתבכות קוונטית יש תפקיד חשוב במדע ובטכנולוגיה של מידע קוונטי מודרני. עם זאת, מורכבות המבנה שלו הופכת את ההבנה והניהול שלו למאתגרים. התגלית של רגולוס ולמי מראה שההסתבכות הקוונטית פועלת לפי כלל אנטרופיה דומה לזה של מערכות קלאסיות. תגלית זו פותחת נקודות מבט חדשות בתחום מדע וטכנולוגיה של מידע קוונטי, ומעמיקה את הבנתנו את ההסתבכות הקוונטית והקשר שלה לתרמודינמיקה. תוצאות המחקר מצביעות על אפשרות הפיכה של טרנספורמציות של הסתבכות, מה שיכול לפשט מאוד את השימוש בהן בטכנולוגיות קוונטיות שונות. פתיחת כלל חדש ... >>

מזגן מיני Sony Reon Pocket 5 09.05.2024

הקיץ הוא זמן להירגעות ולנסיעות, אבל לעתים קרובות החום יכול להפוך את הזמן הזה לייסורים בלתי נסבלים. הכירו מוצר חדש מבית סוני - מזגן המיני Reon Pocket 5, המבטיח להפוך את הקיץ לנוח יותר עבור המשתמשים בו. סוני הציגה מכשיר ייחודי - המיני-מרכך Reon Pocket 5, המספק קירור הגוף בימים חמים. בעזרתו, המשתמשים יכולים ליהנות מקרירות בכל זמן ובכל מקום פשוט על ידי לענוד אותו על צווארם. מזגן מיני זה מצויד בהתאמה אוטומטית של מצבי פעולה, כמו גם בחיישני טמפרטורה ולחות. הודות לטכנולוגיות חדשניות, Reon Pocket 5 מתאים את פעולתו בהתאם לפעילות המשתמש ולתנאי הסביבה. משתמשים יכולים להתאים בקלות את הטמפרטורה באמצעות אפליקציה ייעודית לנייד המחוברת באמצעות Bluetooth. בנוסף, זמינים לנוחות חולצות טי ומכנסיים קצרים בעיצוב מיוחד, אליהם ניתן לחבר מזגן מיני. המכשיר יכול הו ... >>

אנרגיה מהחלל עבור ספינת הכוכבים 08.05.2024

ייצור אנרגיה סולארית בחלל הופך לאפשרי יותר עם כניסתן של טכנולוגיות חדשות ופיתוח תוכניות חלל. ראש הסטארט-אפ Virtus Solis שיתף את החזון שלו להשתמש בספינת הכוכבים של SpaceX כדי ליצור תחנות כוח מסלוליות המסוגלות להניע את כדור הארץ. הסטארט-אפ Virtus Solis חשף פרויקט שאפתני ליצירת תחנות כוח מסלוליות באמצעות ספינת הכוכבים של SpaceX. רעיון זה עשוי לשנות באופן משמעותי את תחום הפקת האנרגיה הסולארית, ולהפוך אותו לנגיש וזול יותר. ליבת התוכנית של הסטארט-אפ היא להפחית את עלות שיגור לוויינים לחלל באמצעות Starship. פריצת דרך טכנולוגית זו צפויה להפוך את ייצור אנרגיה סולארית בחלל לתחרותי יותר עם מקורות אנרגיה מסורתיים. Virtual Solis מתכננת לבנות פאנלים פוטו-וולטאיים גדולים במסלול, באמצעות Starship כדי לספק את הציוד הדרוש. עם זאת, אחד האתגרים המרכזיים ... >>

חדשות אקראיות מהארכיון

היער נכרת - הופיע מכתש 02.03.2011

הגיאופיזיקאי ג'ובאני מונגאטו מאוניברסיטת פדובה (איטליה), שחקר צילומי לוויין של נהרות אפריקה, גילה בטעות מכתש לא ידוע בקוטר של 36 קילומטרים בשטח הרפובליקה הדמוקרטית של קונגו.

זה נהיה גלוי מהשמיים רק בגלל הרס יער הגשם. נערכת משלחת לחקור את המבנה הזה במקום, אך מדענים מציעים כי מדובר בעקבות מפגיעת מטאוריט בקוטר של כשני קילומטרים ומטאוריט זה נפל לפני 45 מיליון שנה לפחות.

עוד חדשות מעניינות:

▪ הקולוניזציה של מאדים אינה רחוקה

▪ עגבניות מדבריות

▪ אפל תעבור לקובלט, זהב, פח ואדמה נדירים ממוחזרים

▪ כוח הרוח מגיע לשיא של 1 TW

▪ כרטיסי זיכרון מוקשחים מבית Silicon Power

עדכון חדשות של מדע וטכנולוגיה, אלקטרוניקה חדשה

חומרים מעניינים של הספרייה הטכנית החופשית:

▪ קטע של האתר רדיו - למתחילים. בחירת מאמרים

▪ מאמר לשמור בגוף שחור. ביטוי פופולרי

▪ מאמר באיזה תיאטרון עודדו הקהל לישון? תשובה מפורטת

▪ מאמר בננה. אגדות, טיפוח, שיטות יישום

▪ כתבה כיבוי חלק של האור במכונית. אנציקלופדיה של רדיו אלקטרוניקה והנדסת חשמל

▪ מאמר ארגון ותפעול מתקני חשמל. תיעוד טכני. אנציקלופדיה של רדיו אלקטרוניקה והנדסת חשמל

השאר את תגובתך למאמר זה:

כל השפות של דף זה

בית | הספרייה | מאמרים | <font><font>מפת אתר</font></font> | ביקורות על האתר