יסודות האלגברה. היסטוריה ומהות הגילוי המדעי

גילויים מדעיים חשובים ביותר
ספרייה חינם / מדריך / התגליות המדעיות החשובות ביותר

יסודות האלגברה. היסטוריה ומהות הגילוי המדעי

התגליות המדעיות החשובות ביותר

מאמינים כי ההלנים שאלו את המידע הראשון על אלגברה מהבבלים. הפילוסוף הניאופלטוני היווני פרוקלוס דיאדכוס ציין במאמרו: "לפי רוב הדעות, הגיאומטריה התגלתה לראשונה במצרים, מקורה במדידת שטחים". ההשפעה של מסורות האלגברה הבבלית על המתמטיקה של יוון העתיקה והאסכולה האלגברית של ארצות האיסלאם מודגשת בהיסטוריה של המתמטיקה. יצירת יסודות המתמטיקה בצורה שאנו רגילים אליה בלימוד מדע זה בבית הספר נפלה בידי היוונים ומתוארכת למאות ה-XNUMX-XNUMX לפני הספירה. המדע העתיק הגיע לפסגת העבודות אוקלידס, ארכימדס, אפולוניה.

עלייה חדשה במתמטיקה העתיקה במאה ה-XNUMX לספירה קשורה לעבודתו של המתמטיקאי הגדול דיופנטוס. עבודתו העיקרית היא אריתמטיקה. למרבה הצער, רק שישה ספרים מתוך שלושה עשר ספרים שרדו עד זמננו. דיופנטוס הצליח להחיות ולפתח את האלגברה המספרית של הבבלים, ולשחרר אותה מהקונסטרוקציות הגיאומטריות ששימשו את היוונים. Diophantus מופיע לראשונה סמליות אותיות. הוא הציג את הסימון: לא ידוע, ריבוע, קובייה, חזקה רביעית, חמישית ושישית, וכן את שש החזקות השליליות הראשונות. בתולדות המתמטיקה מצוין הדבר במיוחד: "ספר דיופנטוס מעיד על נוכחותה של סמליות מילולית בו. משמעותו של צעד זה היא עצומה. רק על בסיס זה ניתן היה ליצור חשבון מילולי, מנגנון נוסחה המאפשר להחליף חלק מהפעולות המנטליות שלנו בטרנספורמציות מכניות. עם זאת, דיופנטוס, ככל הנראה, לא מצא חסידים בעניין זה לא בתקופתו, ולא הרבה מאוחר יותר. רק מסוף המאה ה-XNUMX החלה התפתחות אינטנסיבית של סמליות אלגברית בשנת אירופה, והשלמת יצירת חשבון האותיות התרחשה רק בסוף המאה ה-XNUMX - תחילת המאה ה-XNUMX בעבודות וייטה и דקארט".

"דיופנטוס", כותב V.A. Nikiforovsky, "ניסח את כללי הפעולות האלגבריות בחזקות הלא נודע, התואמות לכפל ולחלוקת הכוחות שלנו עם מעריכים טבעיים, ולכללי סימני הכפל. זה איפשר לכתוב בצורה קומפקטית פולינומים, להכפיל אותם, לפעול עם משוואות. הוא גם הצביע על הכללים להעברת איברים שליליים של המשוואה לחלק אחר שלה עם סימנים מנוגדים, השמדה הדדית של איברים זהים בשני חלקי המשוואה.

החל מהמאה ה-595, מרכז התרבות המתמטית עבר בהדרגה מזרחה - להינדים ולערבים. המתמטיקה ההינדית הייתה מספרית. הוא מסומן על ידי הרצון להשיג את קפדנותם של ההלנים בהוכחות והצדקה של הגיאומטריה, תוך הסתפקות בציורים. ההישגים העיקריים של ההינדים הם שהם הציגו את המספרים, שאנו קוראים להם ערבית, ואת מערכת המיקום של סימון המספרים, גילו את הדואליות של השורשים של המשוואה הריבועית, את הדו-ערכיות של השורש הריבועי, והכניסו שלילי. מספרים. היישום הראשון של מערכת המיקום העשרונית המוכרת לנו מתוארך לשנת 346 - נשתמרה לוח שעליו כתוב מספר השנים XNUMX במערכת כזו.

המתמטיקאים המפורסמים ביותר של הודו היו אריאבהטה (שזכה לכינוי "הראשון", בערך 500) וברהמגופטה (בערך 625). הינדים שקלו מספרים ללא קשר לגיאומטריה. הם הרחיבו את כללי הפעולה על מספרים רציונליים למספרים אי-רציונליים, ועשו עליהם חישובים ישירים.

הישג נוסף של ההינדים בשיפור הסמליות האלגברית הוא שהם הציגו את הסימון עבור כמה אלמונים שונים וכוחותיהם. כמו דיופנטוס, הם היו בעצם קיצורים של מילים.

בעקבות המתמטיקאים ההודים, המתמטיקאים של המזרח הקרוב והתיכון החלו להשתמש בכלל העמדה. תפקיד מיוחד בהיסטוריה של התפתחות האלגברה במחצית הראשונה של המאה ה-XNUMX מילא חיבורו של אל-ח'ואריזמי בערבית בשם "ספר השיקום וההתנגדות" (בערבית - "כיטאב אל-ג'בר ואל-מוקבלה" ). מאוחר יותר, בעת תרגום ללטינית, הכותרת הערבית של המסכת נשמרה. עם הזמן, "אל-ג'בר" הצטמצם ל"אלגברה".

במסכת, פתרון המשוואות אינו נחשב עוד בקשר לאריתמטיקה, אלא כענף עצמאי של המתמטיקה. מתמטיקאי ערבי מראה שאלמונים, הריבועים שלהם ומונחי המשוואות החופשיים שלהם משמשים באלגברה. אל-ח'ואריזמי כינה את הלא נודע "השורש". כאשר פותרים סוגים שונים של משוואות, אל-ח'ואריזמי מציע להעביר את האיברים השליליים של המשוואות מחלק אחד למשנהו, וקורא לזה שחזור. חיסור של איברים שווים משני הצדדים של המשוואה במקרה זה, הוא קורא אופוזיציה (wal muqabala).

"במסכתו אל-חוואריזמי", מציין אלכסנדר סבצ'ניקוב, "רואה מספר לא ידוע ככמות מסוג מיוחד, מציג את המונח שורש, קורא למונח החופשי דירהם (כפי שנקראה היחידה המוניטרית באותה תקופה). הוא מפיץ משוואות לפי סוג, מסביר כיצד ליישם את כללי ההשלמה וההתנגדות, לגבש כללים לפתרון משוואות מסוגים שונים.

בכתבי היד של אל-ח'ואריזמי, כל הביטויים המתמטיים וכל החישובים כתובים במילים, ולכן האלגברה של אז ותקופות מאוחרות יותר נקראה רטורית, כלומר מילולית. בתקופת העבודה על החיבור האלגברי, אל-ח'ואריזמי כבר ידע על האלגברה המספרית של בבל ומדינות אחרות במזרח. הוא הכיר את האלגברה הגאומטרית של היוונים ואת הישגיהם של אסטרונומים ומתמטיקאים הודים.

אל-ח'ואריזמי ייחד את החומר האלגברי כחלק מיוחד במתמטיקה ושחרר אותו מפרשנות גיאומטרית, למרות שבמקרים מסוימים השתמש בהוכחות גיאומטריות. עבודתו האלגברית של אל-ח'ואריזמי הפכה למודל שנחקר וחיקו מתמטיקאים רבים מאוחרים יותר. כתבים אלגבריים וספרי לימוד שלאחר מכן באופיים החלו להתקרב לאלה המודרניים. החיבור האלגברי של אל-ח'ואריזמי שימש את תחילת יצירתו של מדע האלגברה. הוא היה בין העבודות הראשונות על מתמטיקה שתורגמו ללטינית. באותה תקופה באירופה כל העבודות המדעיות נכתבו ופורסמו בלטינית.

כשפותרים בעיה, העיקר הוא הבנת תוכן הבעיה, היכולת לבטא אותה בשפת האלגברה. במילים פשוטות, רשום את מצב הבעיה באמצעות סמלים - סימנים מתמטיים.

דיופנטוס, כפי שכבר הוזכר, נתן את הרעיון של משוואה אלגברית, הכתובה בסמלים, אך רחוקה מאוד מהמודרניים. פרנסואה וייט היה הראשון שקבע באותיות לא רק אלמונים, אלא גם נתנו כמויות. לפיכך, הוא הצליח להכניס למדע את הרעיון הגדול של האפשרות לבצע טרנספורמציות אלגבריות על סמלים, כלומר להציג את הרעיון של נוסחה מתמטית. בכך תרם תרומה מכרעת ליצירת האלגברה המילולית, שהשלימה את התפתחות המתמטיקה של תקופת הרנסנס וסללה את הדרך להופעת התוצאות של פרמה, דקארט וניוטון.

פרנסואה וייט (1540-1603) נולד בדרום צרפת בעיירה הקטנה פנטינאי-לה-קומטה. אביה של וייטה היה תובע. על פי המסורת, הבן בחר במקצוע אביו והפך לעורך דין לאחר שסיים את לימודיו באוניברסיטת פויטו. בשנת 1560 החל עורך הדין בן העשרים את דרכו בעיר הולדתו, אך שלוש שנים לאחר מכן עבר לשירות משפחת האצילים ההוגנוטים דה פרטנאי. הוא הפך למזכירו של בעל הבית ולמורה של בתו, קתרין בת השתים עשרה. ההוראה היא שעוררה אצל עורך הדין הצעיר עניין במתמטיקה.

ב-1671 נכנס וייט לשירות המדינה, והפך ליועץ לפרלמנט ולאחר מכן ליועץ של מלך צרפת הנרי השלישי.

בשנת 1580 מינה הנרי השלישי את ויטה לתפקיד המדינה החשוב של מחבט, אשר נתן את הזכות לשלוט ביישום הפקודות במדינה מטעם המלך ולהשהות את הפקודות של אדונים פיאודליים גדולים.

בעודו בשירות הציבורי, וייט נשאר מדען. הוא התפרסם בזכות יכולתו לפענח את התכתובת המיירטת של מלך ספרד עם נציגיו בהולנד, שבזכותה היה מלך צרפת מודע לחלוטין למעשי מתנגדיו.

ב-1584, בהתעקשותם של בני הזוג גיז, הודח וייטה מתפקידו וגורש מפריז. בתקופה זו נופל שיא עבודתו. לאחר שקיבל פנאי בלתי צפוי, המדען שם לו למטרה ליצור מתמטיקה מקיפה המאפשרת לפתור כל בעיה. הוא היה משוכנע ש"חייב להיות מדע כללי, עדיין לא ידוע, שמאמץ הן את ההמצאות השנונות של האלגבריאסטים האחרונים, והן את המחקר הגיאומטרי העמוק של הקדמונים".

וייטה התווה את תוכנית מחקרו ומונה את המסכתות, המאוחדות ברעיון משותף ונכתבו בשפה המתמטית של האלגברה האלפביתית החדשה, ב"מבוא לאמנות אנליטית" המפורסם שפורסם ב-1591. הספירה הלכה לפי סדר פרסום העבודות הללו כדי ליצור שלם אחד - כיוון חדש במדע. למרבה הצער, שלם אחד לא הסתדר. החיבורים פורסמו בסדר אקראי לחלוטין, ורבים ראו את האור רק לאחר מותה של וייטה. אחת המסתות לא נמצאה כלל. עם זאת, הרעיון המרכזי של המדען היה מוצלח להפליא: החלה הפיכת האלגברה לחישוב מתמטי רב עוצמה. עצם השם "אלגברה" וייטה בכתביו החליף את המילים "אמנות אנליטית". הוא כתב במכתב לדה פרטנאי: "כל המתמטיקאים ידעו שתחת האלגברה והאלמוקבלה... הוסתרו אוצרות שאין דומה להם, אבל הם לא ידעו איך למצוא אותם. בעיות שנחשבו לקשות ביותר נפתרות די בקלות על ידי עשרות עם בעזרת האמנות שלנו..."

ויאט כינה את הבסיס לגישתו מינים לוגיסטיקה. בעקבות הדוגמה של הקדמונים, הוא הבחין בבירור בין מספרים, גדלים ויחסים, ואסף אותם למערכת מסוימת של "מינים". מערכת זו כללה, למשל, משתנים, שורשיהם, ריבועים, קוביות, ריבועי-ריבועים וכו' וכן סקלרים רבים, שתואמים לממדים אמיתיים - אורך, שטח או נפח. עבור מינים אלה, ויאט נתן סמלים מיוחדים, וציינו אותם באותיות גדולות של האלפבית הלטיני. תנועות שימשו עבור כמויות לא ידועות, עיצורים שימשו עבור משתנים.

Viet הראה שבאמצעות הפעלה עם סמלים ניתן להשיג תוצאה שישימה לכל כמות רלוונטית, כלומר לפתור את הבעיה בצורה כללית. זה סימן את תחילתו של שינוי קיצוני בהתפתחות האלגברה: חשבון מילולי הפך לאפשרי.

בהפגנת כוחה של השיטה שלו, המדען הביא בעבודותיו מלאי של נוסחאות שניתן להשתמש בהן כדי לפתור בעיות ספציפיות. מבין סימני הפעולה, הוא השתמש ב-"+" ו-"-", הסימן הרדיקלי והפס האופקי לחלוקה. העבודה סומנה במילה "in". וייט היה הראשון להשתמש בסוגריים, אשר, עם זאת, לא היה לו צורה של סוגריים, אלא קווים על פולינום. אבל הוא לא השתמש ברבים מהסימנים שהוצגו לפניו. אז, ריבוע, קובייה וכו', מסומנים במילים או באותיות הראשונות של מילים.

הסמליות של וייטה אפשרה הן לפתור בעיות ספציפיות והן למצוא דפוסים כלליים, המבססים אותן במלואן. כך הפכה האלגברה לענף עצמאי במתמטיקה, בלתי תלוי בגיאומטריה. "חידוש זה, ובמיוחד השימוש במקדמים מילוליים, סימנו את תחילתו של שינוי מהותי בהתפתחות האלגברה: רק כעת הפך החשבון האלגברי לאפשרי כמערכת של נוסחאות, כאלגוריתם תפעולי".

לאחר הסמליות של וייטה הגיע פייר דה פרמה. שיפור משמעותי נוסף בסמליות האלגברית שייך לדקארט. רנה דקארט הציג אותיות קטנות של האלפבית הלטיני לציון מקדמים. כדי לציין אלמונים, הוא השתמש באותיות האחרונות של אותו אלפבית. חידוש זה אומץ באופן נרחב בעבודותיהם של מתמטיקאים, ובשינויים קלים, שרד עד היום.

מחבר: סאמין ד.ק.

אנו ממליצים על מאמרים מעניינים סעיף התגליות המדעיות החשובות ביותר:

▪ השראות אלקטרומגנטית

▪ עקרונות בסיסיים של גיאולוגיה

▪ כרומטוגרפיה

ראה מאמרים אחרים סעיף התגליות המדעיות החשובות ביותר.

תקרא ותכתוב שימושי הערות על מאמר זה.

<< חזרה

חדשות אחרונות של מדע וטכנולוגיה, אלקטרוניקה חדשה:

קיומו של כלל אנטרופיה להסתבכות קוונטית הוכח 09.05.2024

מכניקת הקוונטים ממשיכה להדהים אותנו עם התופעות המסתוריות והתגליות הבלתי צפויות שלה. לאחרונה הציגו ברטוס רגולה ממרכז RIKEN למחשוב קוונטי ולודוביקו לאמי מאוניברסיטת אמסטרדם תגלית חדשה הנוגעת להסתבכות קוונטית והקשר שלה לאנטרופיה. להסתבכות קוונטית יש תפקיד חשוב במדע ובטכנולוגיה של מידע קוונטי מודרני. עם זאת, מורכבות המבנה שלו הופכת את ההבנה והניהול שלו למאתגרים. התגלית של רגולוס ולמי מראה שההסתבכות הקוונטית פועלת לפי כלל אנטרופיה דומה לזה של מערכות קלאסיות. תגלית זו פותחת נקודות מבט חדשות בתחום מדע וטכנולוגיה של מידע קוונטי, ומעמיקה את הבנתנו את ההסתבכות הקוונטית והקשר שלה לתרמודינמיקה. תוצאות המחקר מצביעות על אפשרות הפיכה של טרנספורמציות של הסתבכות, מה שיכול לפשט מאוד את השימוש בהן בטכנולוגיות קוונטיות שונות. פתיחת כלל חדש ... >>

מזגן מיני Sony Reon Pocket 5 09.05.2024

הקיץ הוא זמן להירגעות ולנסיעות, אבל לעתים קרובות החום יכול להפוך את הזמן הזה לייסורים בלתי נסבלים. הכירו מוצר חדש מבית סוני - מזגן המיני Reon Pocket 5, המבטיח להפוך את הקיץ לנוח יותר עבור המשתמשים בו. סוני הציגה מכשיר ייחודי - המיני-מרכך Reon Pocket 5, המספק קירור הגוף בימים חמים. בעזרתו, המשתמשים יכולים ליהנות מקרירות בכל זמן ובכל מקום פשוט על ידי לענוד אותו על צווארם. מזגן מיני זה מצויד בהתאמה אוטומטית של מצבי פעולה, כמו גם בחיישני טמפרטורה ולחות. הודות לטכנולוגיות חדשניות, Reon Pocket 5 מתאים את פעולתו בהתאם לפעילות המשתמש ולתנאי הסביבה. משתמשים יכולים להתאים בקלות את הטמפרטורה באמצעות אפליקציה ייעודית לנייד המחוברת באמצעות Bluetooth. בנוסף, זמינים לנוחות חולצות טי ומכנסיים קצרים בעיצוב מיוחד, אליהם ניתן לחבר מזגן מיני. המכשיר יכול הו ... >>

אנרגיה מהחלל עבור ספינת הכוכבים 08.05.2024

ייצור אנרגיה סולארית בחלל הופך לאפשרי יותר עם כניסתן של טכנולוגיות חדשות ופיתוח תוכניות חלל. ראש הסטארט-אפ Virtus Solis שיתף את החזון שלו להשתמש בספינת הכוכבים של SpaceX כדי ליצור תחנות כוח מסלוליות המסוגלות להניע את כדור הארץ. הסטארט-אפ Virtus Solis חשף פרויקט שאפתני ליצירת תחנות כוח מסלוליות באמצעות ספינת הכוכבים של SpaceX. רעיון זה עשוי לשנות באופן משמעותי את תחום הפקת האנרגיה הסולארית, ולהפוך אותו לנגיש וזול יותר. ליבת התוכנית של הסטארט-אפ היא להפחית את עלות שיגור לוויינים לחלל באמצעות Starship. פריצת דרך טכנולוגית זו צפויה להפוך את ייצור אנרגיה סולארית בחלל לתחרותי יותר עם מקורות אנרגיה מסורתיים. Virtual Solis מתכננת לבנות פאנלים פוטו-וולטאיים גדולים במסלול, באמצעות Starship כדי לספק את הציוד הדרוש. עם זאת, אחד האתגרים המרכזיים ... >>

חדשות אקראיות מהארכיון

צדק שלל את מערכת השמש מכוכב הלכת 08.08.2018

צוות של אסטרופיזיקאים מאוניברסיטת טורונטו (ארה"ב) מצא שהתנגשות קרובה עם כוכב הלכת צדק, שיכולה הייתה להתרחש לפני כ-4 מיליארד שנים, עשויה להוביל לגירוש של כוכב לכת ענק נוסף ממערכת השמש שלנו.

במשך שנים, מדענים דנו בקיומו של כוכב לכת ענק חמישי, בעקבות צדק, שבתאי, אורנוס ונפטון, שייתכן שנדחף החוצה על ידי שבתאי או צדק בהתנגשות פלנטרית.

כתוצאה מההתנגשות הזו, כוכב לכת לא ידוע עלול לאבד את כוח המשיכה שלו ואת התקשרותו לכוכב ולעוף ממערכת השמש שלנו. הנתונים החדשים שהתקבלו מצביעים על כך שאחרי הכל, צדק הפך להיות האשם בעזיבת כוכב הלכת מהמערכת שלנו.

כדי להגיע למסקנה זו, אסטרופיזיקאים חקרו את הירחים של שני ענקי הגזים שהוזכרו לעיל, כמו גם את הלוויינים שלהם. לשם כך, נעשה שימוש בהדמיות ממוחשבות המבוססות על המסלולים הנוכחיים של קליסטו ואיפטוס, לוויינים במסלול רגיל סביב צדק ושבתאי, בהתאמה.

לאחר שהסימולציות בוצעו, המשיכו המדענים למדוד את ההסתברויות שקליסטו ואיפטוס ייצרו את מסלולם הנוכחי, אם כוכבי הלכת האם שלהם מסירים את כוכב הלכת החמישי ההיפותטי ממערכת השמש, אירוע זה ישנה באופן משמעותי את מסלולו המקורי של הירח.

עוד חדשות מעניינות:

▪ סיליקון מעצב חלבונים

▪ רובוט אמריקאי הלך 23 ק"מ 335 מ'

▪ DNA הפך לשערי הגיון

▪ D-Link DCS-8200LH HD מצלמת מעקב ביתית

▪ סוללת ליתיום-יון שקופה ונמתחת

עדכון חדשות של מדע וטכנולוגיה, אלקטרוניקה חדשה

חומרים מעניינים של הספרייה הטכנית החופשית:

▪ קטע של חומרי ריגול באתר. בחירת מאמרים

▪ מאמר לינוטייפ. היסטוריה של המצאות וייצור

▪ מה היו המאפיינים האופייניים של הערים הגדולות של יוון: אתונה וספרטה? תשובה מפורטת

▪ מאמר מאת Joster Pursha. אגדות, טיפוח, שיטות יישום